درسنامه آموزشی فصل پنجم ریاضی کلاس نهم
درس 2: چند اتحاد دیگر، تجزیه و کاربردها
فعالیت (صفحهٔ 86 کتاب درسی)
1- حاصل عبارت زیر را با دو روش ارائه شده انجام دهید و آنها را کامل کنید.
$\begin{align}
& {{a}^{2}}+\underline{ab}+\underline{\underline{ac}}+\underline{ba}+{{b}^{2}}+\underline{\underline{\underline{bc}}}+\underline{\underline{ca}}+\underline{\underline{\underline{cb}}}+{{c}^{2}} \\
& ={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2ab+2ac+2bc \\
\end{align}$${{(a+b+c)}^{2}}=(a+b+c)(a+b+c)=$ : روش اول
$\begin{align}
& ={{c}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}+2ac+2bc+{{c}^{2}} \\
& ={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2ab+2ac+2bc \\
\end{align}$${{((a+b)+c)}^{2}}={{(a+b)}^{2}}+2(a+b)c+$ : روش دوم
به کمک نتیجهٔ این فعالیت، حاصل عبارت زیر را به دست آورید.
${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{(-c)}^{2}}+2ab+2a(-c)+2b(-c)={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2ab-2ac-2bc$${{(a+b-c)}^{2}}=$
2- با استفاده از ضرب عبارتهای جبری، حاصل عبارت زیر را به دست آورید.
${{a}^{2}}\cancel{-ab}+\cancel{ab}-{{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}$$(a+b)(a-b)=$
اگر a و b مثبت و b<0 باشد، به کمک شکلهای زیر درستی اتحاد $(a+b)(a-b)={{a}^{2}}-{{b}^{2}}$ را نتیجه بگیرید.
اگر از مربعی به ضلع a، مربعی به ضلع b را برش دهیم و جدا کنیم، مساحت شکل باقیمانده (راست) برابر با ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}$ است. در همین حال، اگر ضلع a-b از مستطیل هاشورخورده را کنار ضلع a-b از مستطیل بدون رنگ قرار دهیم، یک مستطیل جدید (شکل چپ) به طول a+b و عرض a-b تشکیل میشود. پس مساحت این مستطیل برابر با مساحت شکل قبلی است. یعنی؛
$(a+b)(a-b)={{a}^{2}}-{{b}^{2}}$
از آنجا که ${{s}_{1}}={{s}_{2}}$، بنابراین داریم:
این اتحاد را به صورت کلامی بیان کنید.
حاصلضرب جمع دو عدد در تفریق آن دو عدد برابر است با مربع عدد اول منهای مربع عدد دوم
کار در کلاس (صفحهٔ 86 کتاب درسی)
1- تساویهای زیر را با استفاده از اتحاد مناسب کامل کنید.
$-{{a}^{2}}$$(1+a)(1-a)=1$ (1
$(2a+5)(2a-5)=4{{a}^{2}}-25$ (2
$(t+3)(t-3)={{t}^{2}}-9$ (3
${{c}^{2}}-2ab-2ac+2bc$${{(a-b-c)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+$ (4
2- حاصل عبارتهای زیر را مانند نمونه با استفاده از اتحاد مزدوج به دست آورید.
$(10-x)(x+10)=(10-x)(10+x)=100-{{x}^{2}}$ (1
$(-y-2z)(-2z+y)=(-2z-y)(-2z+y)=4{{z}^{2}}-{{y}^{2}}$ (2
$(t-7y)(t+7y)={{t}^{2}}-49{{y}^{2}}$$(-7y+t)(t+7y)=$ (3
$(-4y-2z)(-4y+2z)=16{{y}^{2}}-4{{z}^{2}}$$(-4y-2z)(2z-4y)=$ (4
$\begin{align}
& {{x}^{2}}-{{(2y-5)}^{2}}={{x}^{2}}-(4{{y}^{2}}-20y+25) \\
& ={{x}^{2}}-4{{y}^{2}}+20y-25 \\
\end{align}$$(x-2y+5)(x+2y-5)=\left[ x-(2y-5) \right]\left[ x+(2y-5) \right]=$ (5
فعالیت (صفحهٔ 87 کتاب درسی)
از اتحاد مزدوج در تجزیهٔ عبارتهای جبری نیز استفاده میشود.
${{A}^{2}}-{{B}^{2}}=(A+B)(A-B)$
با توجه به این تساوی، جای خالی را پر کنید.
${{x}^{2}}-9=(x+3)(x-3)$ (1
$4{{y}^{2}}-\frac{1}{4}{{z}^{4}}=(2y+\frac{1}{2}{{z}^{2}})(2y-\frac{1}{2}{{z}^{2}})$ (2
${{(2x+1)}^{2}}-{{y}^{2}}=\left[ (2x+1)-y \right]\left[ (2x+1)+y \right]$ (3
$1-{{(3a+z)}^{2}}=\left[ 1-(3a+z) \right]\left[ 1+(3a+z) \right]=(1-3a+z)(1+3a+z)$ (4
${{(2x+1)}^{2}}-{{(3x+4)}^{2}}=\left[ (2x+1)-(3x+4) \right]\left[ (2x+1)+(3x+4) \right]=(-x-3)(5x+5)$ (5
${{x}^{4}}-{{y}^{4}}=({{x}^{2}}+{{y}^{2}})({{x}^{2}}-{{y}^{2}})=({{x}^{2}}+{{y}^{2}})(x+y)(x-y)$ (6
کار در کلاس (صفحهٔ 87 کتاب درسی)
1- محسن قصد دارد عبارت جبری زیر را تجزیه کند.
$4{{x}^{2}}-{{(7-3y)}^{2}}$
محسن با توجه به شکل عبارت جبری به فکر استفاده از اتحاد مزدوج میافتد و این عبارت را به کمک این اتحاد به صورت زیر تجزیه میکند.
$(2x-7+3y)(2x+7-3y)$
به نظر شما، محسن در استفاده از اتحاد مزدوج، A و B را چگونه انتخاب کرده است؟
$A=2x\quad ,\quad B=7-3y$
2- استفاده از اتحادها، میتواند بعضی از محاسبات به ظاهر مشکل را ساده کند. به کمک اتحادها، تساویهای زیر را کامل کنید.
$98\times 102=(100-2)\times (100+2)={{(100)}^{2}}-{{2}^{2}}=10000-4=9996$
$497\times 503=\left( 500-3 \right)\times \left( 500+3 \right)={{500}^{2}}-{{3}^{2}}=250000-9=249991$
${{1000}^{2}}+2\times 1000\times 1+1=1000000+2000+1=1002001$${{(1001)}^{2}}={{(1000+1)}^{2}}=$
فعالیت (صفحهٔ 88 کتاب درسی)
1- به تساویهای زیر دقت کنید. توضیح دهید عبارت سمت راست چگونه به دست آمده است؟
بین جواب و عبارت سمت چپ چه ارتباطی وجود دارد؟
$(x+9)(x-4)={{x}^{2}}+9x-4x-36={{x}^{2}}+5x-36$ (ب
در مثال (الف) هر دو عامل ضرب دارای یک عبارت مشترک x و عبارتهای غیر مشترک 2 و 5 هستند. جواب برابر است با مربع عبارت مشترک + حاصلضرب مجموع عبارتهای غیرمشترک در عبارت مشترک + حاصلضرب عبارتهای غیرمشترک
با توجه به عبارات بالا تساوی زیر را کامل کنید.
$(x+a)(x+b)={{x}^{2}}+(a+b)x+ab$
اتحاد به دست آمده را اتحاد جملۀ مشترک مینامند.
2- با توجه به فعالیت 1 اگر طرف راست عبارت بالا را داشته باشیم و بخواهیم آن را به حاصل ضرب دو عبارت تجزیه کنیم، اعداد a و b را چگونه تشخیص دهیم؟
${{x}^{2}}+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$
حاصلضرب عبارتهای غیرمشترک برابر 10 و حاصل جمع آنها برابر 7 است
${{x}^{2}}+7x+10=(x+2)(x+5)$ (الف
حاصلضرب عبارتهای غیرمشترک برابر 12 و حاصل جمع آنها برابر 7 است
${{x}^{2}}+7x+12=(x+4)(x+3)$ (ب
حاصلضرب عبارتهای غیرمشترک برابر 6- و حاصل جمع آنها برابر 1 است
${{y}^{2}}+y-6=(x+3)(x-2)$ (ج
حاصلضرب عبارتهای غیرمشترک برابر 6- و حاصل جمع آنها برابر 1- است
${{y}^{2}}-y-6=(x+2)(x-3)$ (د
حاصلضرب عبارتهای غیرمشترک برابر 6 و حاصل جمع آنها برابر 5 است
${{y}^{2}}+5y+6=(x+3)(x+2)$ (ه
3- تجزیهٔ عبارت ${{x}^{2}}+10x-24$ را چهار نفر از دانش آموزان به کمک اتحاد جملهٔ مشترک به چهار صورت زیر انجام دادهاند. کدام یک درست و کدام یک نادرست است؛ چرا؟
$(x+6)(x-4)$ : جواب نفر اول
$(x+6)(x+4)$ : جواب نفر دوم
$(x+12)(x-2)$ : جواب نفر سوم
$(x-12)(x+2)$ : جواب نفر چهارم
جواب نفر سوم درست است چون تنها با انتخاب جملههای غیر مشترک 12 و 2- حاصلضرب آنها برابر 24- و حاصل جمع آنها برابر 10 میشود.
${{x}^{2}}+10x-24=(x+12)(x-2)$
تمرین (صفحهٔ 89 کتاب درسی)
1- حاصل عبارتهای زیر را با استفاده از اتحادها به دست آورید.
$=\frac{1}{16}-{{x}^{2}}$$(\frac{1}{4}-x)(\frac{1}{4}+x)$ (الف
$={{(5x)}^{2}}+(4+3)\times 5x+12=25{{x}^{2}}+35x+12$$(5x+4)(5x+3)$ (ب
$={{z}^{2}}-3$$(z-\sqrt{3})(z+\sqrt{3})$ (ج
$={{(3x+y)}^{2}}-{{z}^{2}}$$(3x+y-z)(3x+y+z)$ (د
$=({{x}^{2}}-1)({{x}^{2}}+1)={{x}^{4}}-1$$(x-1)(x+1)({{x}^{2}}+1)$ (ه
$=({{x}^{2}}-4)({{x}^{2}}+3)={{({{x}^{2}})}^{2}}+(3-4){{x}^{2}}-12={{x}^{4}}-{{x}^{2}}-12$$(x-2)(x+2)({{x}^{2}}+3)$ (و
2- در قسمتهای نقطه چین، با استفاده از اتحادها، عبارتهای مناسب بگذارید.
$(xy-z)(xy+z)={{\left( xy \right)}^{2}}-{{z}^{2}}={{x}^{2}}{{y}^{2}}-{{z}^{2}}$ (الف
$(\frac{1}{2}y+\sqrt{5})(\frac{1}{2}y-\sqrt{5})=\frac{1}{4}{{y}^{2}}-5$ (ب
$(x+a)(x-b)={{x}^{2}}+(a-b)x-ab$ (ج
$({{x}^{2}}+7)({{x}^{2}}-5)={{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-35$ (د
3- عبارات زیر را به کمک اتحادها، تجزیه کنید.
$=(a-5)(a-3)$${{a}^{2}}-8a+15$ (الف
$={{(x+\tfrac{1}{2})}^{2}}$${{x}^{2}}+x+\tfrac{1}{4}$ (ب
$=(x+4)(x+6)$${{x}^{2}}+10x+24$ (ج
$=(x+2)(x-4)$${{x}^{2}}-2x-8$ (د
$=(x-9)(x-4)$${{x}^{2}}-13x+36$ (و
$={{(x-6)}^{2}}$${{x}^{2}}-12x+36$ (ز
$=(x+y+3)(x+y-3)$${{(x+y)}^{2}}-9$ (ح
$=b({{x}^{2}}-5x-50)=b(x-10)(x+5)$$b{{x}^{2}}-5bx-50b$ (ط
$=({{x}^{2}}-4)({{x}^{2}}-1)=(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)$${{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4$ (ی
4- در اتحاد جملهٔ مشترک اگر a=b باشد، چه اتحادی به دست میآید؟ اگر a و b قرینه باشد، کدام اتحاد به دست میآید؟
اگر $b=a$ باشد، اتحاد مربع دو جملهای به دست میآید.
$\begin{align}
& (x+a)(x+b)={{x}^{2}}+(a+b)x+ab \\
& \xrightarrow{b=a}=(x+a)(x+a)={{x}^{2}}+(a+a)x+a.a={{(x+a)}^{2}}={{x}^{2}}+2ax+{{a}^{2}} \\
\end{align}$
اگر $b=-a$ باشد، اتحاد مزدوج به دست میآید.
$\begin{align}
& (x+a)(x+b)={{x}^{2}}+(a+b)x+ab \\
& \xrightarrow{b=-a}=(x+a)(x-a)={{x}^{2}}+(a-a)x-a.a=(x+a)(x-a)={{x}^{2}}-{{a}^{2}} \\
\end{align}$
5- به کمک مساحتها در شکل روبه رو، اتحاد جملهٔ مشترک را به دست آورید.
$(x+a)(x+b)=\overbrace{{{x}^{2}}}^{{{S}_{1}}}+\overbrace{ax}^{{{S}_{2}}}+\overbrace{bx}^{{{S}_{3}}}+\overbrace{ab}^{{{S}_{4}}}={{x}^{2}}+(a+b)x+ab$
